法律分析：单位续签合同申请书的程序如下：
1、合同期限届满或其他的法定、约定终止条件出现，用人单位和劳动者协商签订劳动合同；
2、续订合同，如原合同的主要条款已有较大改变，双方应重新协商签订新的劳动合同；
3、续订劳动合同后，用人单位应将双方重新签订的劳动合同，送有管辖权的劳动鉴证机构进行鉴证，办理社会保险。
法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》 第十条 建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。用人单位与劳动者在用工前订立劳动合同的，劳动关系自用工之日起建立。
